у дома / наука / математика / Как да решаване на диференциални линейни уравнения

Как да решим диференциални линейни уравнения

/
75 Прегледи

Как да решим диференциални линейни уравнения</a>

В диференциално уравнение, в което неизвестен функцията и производно включва линейни, т.е. първа степен, наречен линеен диференциално уравнение на първия ред.

инструкция

    1

Общ изглед на първия ред линеен диференциално уравнение е:

у? + Р (х) * у = е (х),

където у - неизвестна функция, и р (х) и е (х) -някои определени функции. Те се считат за непрекъснато в района, в който искате да интегрирате уравнението. По-специално, те могат да бъдат константи.

    2

Ако е (х)? 0, тогава уравнението се нарича odnorodnym- ако не - след това, съответно, нехомогенни.

    3

линеен хомогенна уравнение може да бъде решен чрез разделяне на променливи. Неговият общ вид: у? + Р (х) * у = 0, следователно:

ди / DX = р (х) * у, което означава, че ди / у = р (х) DX.

    4

Интегрирането на двете страни на полученото уравнение, получаваме:

? (Dy / у) = - Р (х) DX, който е LN (у) = - Р (х) DX + LN (С) или у = C * д ^ (- Р (х) DX) ).

    5

Решение на нехомогенни линейното уравнение може да бъдеоттеглят от разтвора на съответната хомогенни, това означава, същото уравнение с дясната страна на спада е (х). За тази цел, на мястото на константата С в разтвор на хомогенна уравнение неизвестна функция? (X). След решението на нехомогенни уравнението ще бъде представена под формата на:

? Y = (х) * д ^ (- Р (х) DX)).

    6

Разнообразяване на този израз, ние виждаме, че производното на у е:

у? = ?? (х) * д ^ (- Р (х) DX) - (X) * р (х) * д ^ (- Р (х) DX).

Заместването на изразите за у и у? в оригиналния уравнението и опростяване получава лесно дойде на резултата:

г? / DX = е (х) * д ^ (? р (х) DX).

    7

След интегрирането двете страни става вид:

? (X) =? (F (х) * д ^ (? Р (х) DX)) DX + C1.

По този начин, неизвестен функция у е изразена като:

у = д ^ (- р (х) DX) * (C + F (х) * д ^ (р (х) DX) ??) DX).

    8

Ако се равнява константата С до нула, след експресията на Y може да получи конкретен разтвор на даденото уравнение:

Y1 = (д ^ (- р (х) DX)) * (е (х) * д ^ (р (х) DX) ??) DX).

След това, цялостно решение може да се изрази като:

Y = Y1 + C * д ^ (- р (х) DX)).

    9

С други думи, цялостно решение на линейнатанехомогенни диференциално уравнение на първия ред е равна на сумата от своя специално разтвор и общото решение на съответния хомогенна линейното уравнение на първия ред.

Как да решим диференциални линейни уравнения Тя е на последна промяна: 21-ви Юни 2017 от vashuorm
Това е основният текст на долния колонтитул вътрешен контейнер